Question

椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF为直角三角形，求直线l的斜率．

Answer

（Ⅰ）由已知，a2+b2=5，由此能够求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，，再由根与系数的关系求解．
【解析】
（Ⅰ）由已知，a2+b2=5，
又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，
所以椭圆C的方程为；
（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，
联立，，消去y得（1+4k2）x2+32kx+60=0，
△=（32k）2-240（1+4k2）=64k2-240，
令△＞0，解得．
设E，F两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
（ⅰ）当∠EOF为直角时，
则，
因为∠EOF为直角，所以，即x1x2+y1y2=0，
所以（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16=0，
所以，解得．
（ⅱ）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，
此时，kOE•k=-1，所以，即x12=4y1-y12①，
又；②，
将①代入②，消去x1得3y12+4y1-4=0，
解得或y1=-2（舍去），
将代入①，得，
所以，
经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和．