Question

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：MN⊥CD．

Answer

（Ⅰ）取的PD中点为E，并连接NE，AE，根据中位线可知NE∥CD且，AM∥CD且，则AM∥NE且AM=NE，从而四边形AMNE为平行四边形，所以AE∥MN，又因AE⊂在平面PAD，MN⊄在平面PAD，根据线面平行的判定定理可知A1C∥平面BDE，从而MN∥平面PAD．
（Ⅱ）根据PA⊥矩形ABCD则PA⊥CD，又因四边形ABCD为矩形则AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，又因AE⊂在平面PAD，根据线面垂直的性质可知CD⊥AE，根据AE∥MN，可知MN⊥CD．
证明：（Ⅰ）取的PD中点为E，并连接NE．AE∵M、N分别为AB、PC的中点
∴NE∥CD且，AM∥CD且∴AM∥NE且AM=NE
∴四边形AMNE为平行四边形∴AE∥MN
又∵又AE⊂在平面PAD，MN⊄在平面PAD∴A1C∥平面BDE．
∴MN∥平面PAD（4分）

（Ⅱ）证明：∵PA⊥矩形ABCD∴PA⊥CD又
∵四边形ABCD为矩形∴AD⊥CD
∴CD⊥平面PAD
又∵AE⊂在平面PAD∴CD⊥AE
再∵AE∥MN
∴MN⊥CD