Question

设函数，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）讨论g（t）在区间（-1，1）内的单调性并求极值．

Answer

（1）首先求出函数f（x）的导数，然后根据导数与最值的关系求出函数的最小值，从而求出g（t），
（2）首先求出函数g（t）的导数，然后根据导数与单调性和极值的关系求出g（t）在区间（-1，1）内的单调性和极值．
【解析】
（1）由题意得数
=sin2x-1-2tsinx+4t3+t2-3t+4=（sinx-t）2+4t3-3t+4，
又由|t|≤1，可得，当sinx=t时，（sinx-t）2取得最小值，
此时函数f（x）取得最小值，即g（x）=4t3-3t+4，
（2）g（x）=4t3-3t+4，则g′（x）=12t2-3t，t∈（-1，1），
令g′（x）=0可得t=±，
列表如下：

 t  （-1，-） -  （-，）    （，1）
 g′（t） +  0 -  0 +
 g（t）  增函数  极大值  减函数  极小值  增函数

易得g（x）在区间（-1，-）和（，1）上为增函数，在区间（-，）上为减函数，
当t=-时，g（t）取极大值为4，
当t=时，g（t）取极小值为2．