Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使得f（x）=x成立，则称x为f（x）的天宫一号点．已知函数f（x）=ax²+（b-7）x+18的两个天宫一号点分别是-3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）当函数f（x）的定义域是[t，t+1]（t＞0）时，f（x）的最大值为G（t），最小值为g（t），求H（t）=G（t）-g（t）的表示式．

Answer

（1）直接利用定义把条件转化为f（-3）=-3，f（2）=2联立即可求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）根据函数的对称轴，确定f（x）在[t，t+1]内是单调减函数，从而可求f（x）的最大值为G（t），最小值为g（t），进而可求H（t）=G（t）-g（t）的表示式
【解析】
（1）依题意得f（-3）=-3，f（2）=2；
即9a+21-3b+18=-3，4a+2b-14+18=2，
解得a=-3，b=5
∴f（x）=-3x2-2x+18
（2）∵f（x）对称轴为 ＜0
∴f（x）在[t，t+1]（t＞0）内是单调减函数，

∴H（t）=G（t）-g（t）=6t+5