Question

下列命题中，其中不正确的个数是（ ）
①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相互平行
②若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行
③已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥γ
④一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α∥β
⑤过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC，若有PA=PB=PC，则点O是△ABC的内心
⑥垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

通过举反例可判断①②错误；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可证明③正确；利用面面平行的判定定理可判断④正确；利用直线在平面内的射影性质，可判断⑤错误；利用空间向量理论可证明⑥正确
【解析】
①如正方体从一个定点出发的三条棱，两两互相垂直，故①②错；
③设α∩γ=a，β∩γ=b，在平面γ内作直线c⊥a，d⊥b，c∩d=O
∵平面α⊥平面γ，∴c⊥α，∵l⊂α，∴c⊥l，同理可证d⊥l
即l垂直于平面γ内的两条相交直线，∴l⊥γ，③正确；
④依据面面平行的判定定理，一个平面α内两条相交的直线都平行于另一平面β，则α∥β，可判断④正确；
⑤∵PA=PB=PC，∴它们在平面ABC内的射影OA=OB=OC，从而点O为三角形ABC的外心，⑤错；
⑥垂直于同一条直线的两个平面，即两平面的法向量共线，故两平面平行，⑥正确；
故正确命题有③④⑥三个
故选 C