Question

函数的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）＞5在定义域上恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）利用单调性的定义，根据函数y=f（x）在定义域上是减函数，可得不等式a＜-2x1x2恒成立，从而可求a的取值范围；
（2）f（x）＞5在定义域上恒成立，即（x∈（0，1]）恒成立，即a＜2x2-5x（x∈（0，1]）恒成立，求出右边对应的函数在定义域内的最小值，即可求得a的取值范围．
【解析】
（1）∵函数y=f（x）在定义域上是减函数，
∴任取x1，x2∈（0，1]，x1＜x2，恒有f（x1）＞f（x2），
∴＞0
∴
∵x1-x2＜0，x1x2＞0
即a＜-2x1x2恒成立，
∵1＞x1x2＞0
∴a≤-2
（2）f（x）＞5在定义域上恒成立，
即在x∈（0，1]上恒成立
∵0＜x≤1
∴2x2-a＞5x
∴a＜2x2-5x在x∈（0，1]上恒成立
∵2x2-5x=2
∴函数y=2x2-5x在（0，1]上单调减
∴x=1时，函数取得最小值-3
∴a＜-3．