Question

（1）判断函数f（x）=在x∈（0，+∞）上的单调性并证明你的结论？
（2）猜想函数在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的单调性？（只需写出结论，不用证明）
（3）利用题（2）的结论，求使不等式在x∈[1，5]上恒成立时的实数m的取值范围？

Answer

（1）函数f（x）=在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，再利用单调性的定义进行证明即可；
（2）由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在和上是增函数，f（x）在和上是减函数   
（3）根据在x∈[1，5]上恒成立，可得在x∈[1，5]上恒成立   求出左边函数的最小值即可．
（1）【解析】
函数f（x）=在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．…（1分）
证明：设任意x1＜x2∈（0，+∞），则…（2分）
=                                    …（3分）
又设x1＜x2∈（0，2]，则f（x1）-f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）=在（0，2]上是减函数                     …（4分）
又设x1＜x2∈[2，+∞），则f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）=在[2，+∞）上是增函数                        …（5分）
（2）【解析】
由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在和上是增函数，f（x）在和上是减函数                   …（7分）
（3）【解析】
∵在x∈[1，5]上恒成立
∴在x∈[1，5]上恒成立         …（8分）
由（2）中结论，可知函数在x∈[1，5]上的最大值为10，
此时x=1                                    …（10分）
要使原命题成立，当且仅当2m2-m＞10
∴2m2-m-10＞0  解得m＜-2，或
∴实数m的取值范围是{m|m＜-2，或}    …（12分）