Question

已知椭圆C的方程为．
（1）求椭圆C的离心率的取值范围；
（2）若椭圆C与椭圆2x²+5y²=50有相同的焦点，且过点M（4，1），求椭圆C的标准方程．

Answer

（1）利用离心率公式，结合a≥2b及0＜e＜1，可确定椭圆C的离心率的取值范围；
（2）由2x2+5y2=50确定其焦点，结合点M（4，1）在椭圆C上，即可求椭圆C的方程、
【解析】
（1）离心率…（1分）
∵a≥2b，∴，
∴，…（3分）
又0＜e＜1，
∴…（4分）
（2）由2x2+5y2=50得，其焦点为…（5分）
点M（4，1）在椭圆C上，
∴①…（6分）
又a2-b2=15，即a2=b2+15②…（7分）
代入①得b4-2b2-15=0，解得b2=5或b2=-3（舍去）  …（9分）
∴a2=20，
故所求椭圆C的方程为．…（10分）