Question

如果对于函数f（x）的定义域内的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，那么就称函数f（x）是定义域上的“平缓函数”．
（1）判断函数f（x）=x²-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”？
（2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对任意的x，x₂∈[0，1]都有．

Answer

（1）只需按照定义作差：|f（x1）-f（x2）|，然后寻求|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|成立的条件．
（2）利用f（0）=f（1），进行适当放缩外，注意添项减项的技巧应用，即可证得结论．
（1）【解析】
对于任意x1，x2∈[0，1]，有0≤x1+x2≤2，
∴-1≤x1+x2-1≤1，
∴|x1+x2-1|≤1．
∴|f（x1）-f（x2）|=|（x12-x1）-（x22-x2）|=|x1-x2||x1+x2-1|≤|x1-x2|．
∴函数f（x）=x2-x，x∈[0，1]是“平缓函数”．
（2）证明：当|x1-x2|＜时，由已知得|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|＜
当|x1-x2|≥时，，x1，x2∈[0，1]，不妨设0≤x1＜x2≤1，其中x1-x2≥，
∵f（0）=f（1），
∴|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|
≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|≤|x1-0|+|1-x2|=x1-x2+1≤-+1=．
∴对任意的x1，x2∈[0，1]，都有．成立．