Question

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（0＜ω＜1，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M对称，求f（x）的解析式．

Answer

由f（x）是偶函数可得ϕ的值，图象关于点M对称可得函数关系f（-x）=-f（+x），可得ω的可能取值，确定ω的值．
【解析】
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
∴2cosφsinωx=0，对任意x都成立，且0＜ω＜1，
∴cosφ=0，又0≤ϕ≤π，
∴φ=，
∴f（x）=sin（ωx+）=cosωx；
由f（x）的图象关于点M（，0）对称，
∴f（-x）=-f（x），即cosω（-x）=-cosωx
取x=0，cos=-1．
∴=2kπ+π，
∴ω=（2k+1），k=0，1，2…
又0＜ω＜1，
∴当k=0时，ω=．
∴f（x）=cosx．