Question

已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）
（1）求点P（1，1）到线段l：x-y-3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）；
（2）设l是长为2的线段，求点的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积；
（3）写出到两条线段l₁，l₂距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，其中l₁=AB，l₂=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．
对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．
①A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0）．
②A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，-2）．
③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．

Answer

（1）根据所给的是一条线段，点到线段的距离不一定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观察过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式．
（2）由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积．
（3）根据题意从三组点的坐标中选第一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果．
【解析】
（1）点P（1，1）到线段l：x-y-3=0（3≤x≤5）的距离
d（P，l）是点P到（3，0）的距离，
d（P，l）=，
（2）由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，
∴S=22+π=4+π
（3）对于所给的三组点到坐标选第一组，A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0）．
利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=-1，
到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，
根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，
∴到两条直线距离相等的点的集合是y轴．
选第二组点来计算：A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，-2），
根据第一组做出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，
可以得到到两条线段距离相等的点是y轴飞非负半轴．
选第三组来求解到两条线段距离相等的点，A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0），

根据两条线段分别在横轴和纵轴上，知到两条线段距离相等的点在一三象限的角平分线上，
方程是y=x，不是这条直线上的所有的点都合题意，根据所给的点到直线的距离知（1，1）点左下方的符合题意，
所以所求的点的集合是y=x（x≤1）