Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前 n 项和为S_n，且点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上．计算+++…+．

Answer

由点（an，an+1）在直线x-y+1=0上，可得an+1=an+1，又a1=1，可判断{an}是首项和公差均为1的等差数列，从而求得
其前 n 项和为Sn=，于是可用裂项法求得=2（-），从而可求得答案．
【解析】
∵a1=1，点（an，an+1）在直线x-y+1=0上，
∴an-an+1+1=0，
∴an+1-an=1，…（3分）
∴{an}是等差数列，首项和公差均为1，
∴an=1+（ n-1）=n．…（6分）
∴Sn=1+2+…+n=，…（8分）
∴==2（-）…（10分）
∴+++…+=2（1-）+2（-）+2（-）+…+2（-）
=2（1-）=．…（14分）