Question

已知函数f（x）=elnx，g（x）=e^-1•f（x）-（x+1）．（e=2.718…）
（1）求函数g（x）的极大值；
（2 ）求证：；
（3）对于函数f（x）与h（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的“分界线”．设函数，试探究函数f（x）与h（x）是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）对于含有对数函数的函数的极值问题，往往利用导数研究，故先求出g（x）的导函数，通过解不等式令g′（x）＞0解决．
（2）由题意得：“lnx≤x-1，（当且仅当x=1时等号成立）”，令t=x-1得：t≥ln（t+1），取，原问题转化成一个数列问题解决．
（3）设，原问题转化为研究此函数的单调性问题，利用导数知识解决．
【解析】
（Ⅰ）∵，∴．（1分）
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，（2分）
∴函数g（x）在（0，1）上递增，（1，+∞）上递减，∴g（x）极大=g（1）=-2．（4分）
（Ⅱ）证明：由（1）知x=1是函数g（x）极大值点，也是最大值点，∴g（x）≤g（1）=-2，
即lnx-（x+1）≤-2⇒lnx≤x-1，（当且仅当x=1时等号成立）（5分）
令t=x-1得：t≥ln（t+1），取，
则，（7分）
∴，
迭加得（8分）
（Ⅲ）设，
则．
∴当时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减；
当时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．
∴是函数F（x）的极小值点，也是最小值点，∴
∴函数f（x）与h（x）的图象在处有公共点．（9分）
设f（x）与h（x）存在“分界线”且方程为：．
令函数，
ⅰ）由在x∈R恒成立，
即在R上恒成立，
∴成立，
∴，故．（11分）
ⅱ）下面再证明：恒成立．
设，则．
∴当时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增；当时，φ′（x）＜0．函数φ（x）单调递减．
∴时φ（x）取得最大值0，则（x＞0）成立．（13分）
综上ⅰ）和ⅱ）知：且，
故函数f（x）与h（x）存在分界线为，此时．（14分）
另【解析】
令f（x）=h（x），则，探究得两函数图象的交点为，
设存在“分界线”且为：，令函数，
再证：h（x）-u（x）≥0恒成立；f（x）-u（x）≤0恒成立证法同上ⅰ）和ⅱ．