Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足以下①②③三个条件：
①f（1）=3；
②f（x）≥2对一切x∈[0，1]恒成立；
③若a≥0，b≥0，a+b≤1，则f（a+b）≥f（a）+f（b）-2．
（1）求f（0）；
（2）设x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，试证明f（x₁）≤f（x₂）并利用此结论求函数f（x）的最大值和最小值；
（3）试比较f（）与（n∈N）的大小，并证明对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2．

Answer

（1）利用赋值法，令a=b=0，结合f（x）≥2对一切x∈[0，1]恒成立，我们可以求出f（0）；
（2）利用f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）-2，我们可证得结论；
（3）利用赋值法，再进行放缩，可得，对∀x∈（0，1]，总存在n∈N，满足，这样我们就可得到，由此结论成立．
（1）【解析】
令a=b=0，∴f（0）=f（0+0）≥2f（0）-2，∴f（0）≤2，
又∵f（0）≥2对一切x∈[0，1]恒成立，
∴f（0）=2
（2）证明：设x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，则x2-x1∈[0，1]
∴f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）-2
∴f（x2）-f（x1）≥f（x2-x1）-2≥0
∴f（x1）≤f（x2）
则当0≤x≤1时，f（0）≤f（x）≤f（1）
∴f（x）min=2，f（x）max=3
（3）证明：在③中令，得
∴≤…≤
∴   （Ⅰ）
对∀x∈（0，1]，总存在n∈N，满足
由（2）及（Ⅰ）得：
又2x+2＞，
∴f（x）＜2x+2．
综上所述，对任意x∈（0，1]，f（x）＜2x+2恒成立