Question

已知函数f（x）=-x³+6x²-9x．若过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的切线有三条，求实数m的取值范围．

Answer

先设过点P（-1，m）的切线切曲线于点（x，y），将过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程（-3x2+12x-9）（x+1）+m=-x3+6x2-9x 有三个不同实数根，记g（x）=2x3-3x2-12x+9，g'（x）=6x2-6x-12=6x（x-1）（x-2），下面利用导数研究函数g（x）的极值点，从而求得m的范围．
【解析】
设过点P（-1，m）的切线切曲线于点（x，y），
则切线的斜率k=f'（x）=-3x2+12x-9…（2分）
所以切线方程为y=（-3y2+12x-9）（x+1）+m…（4分）
故y=（-3x2+12x-9）（x+1）+m=-x3+6x2-9x …（5分）
要使过P可作曲线y=f（x）的切线有三条，
则方程（-3x2+12x-9）（x+1）+m=-x3+6x2-9x 有三个不同实数根…（7分）
∴m=2x3-3x2-12x+9 
令g（x）=2x3-3x2-12x+9
则g'（x）=6x2-6x-12=6x（x-1）（x-2）…（10分）
当x=-1，2为g（x）的极值大、极小值点，
又g（x）有极大值16；g（x）有极小值-11…（12分）
故满足条件的m的取值范围-11＜m＜16   …（14分）