Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，点P（a_n，S_n）在直线y=2x-2上（n∈N*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=2（1），数列{b_n}的前n项和为T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）设正数数列{c_n}满足，证明：数列{c_n}中的最大项是c₂．

Answer

（I）利用点在直线上，推出数列是等比数列，然后求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求出bn=2（1）的表达式，x写出数列{bn}的前n项和为Tn，然后直接求使Tn＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）解法一，设正数数列{cn}满足，借助函数的单调性，利用导数直接证明数列{cn}中的最大项是c2．
解法二：直接利用数学归纳法证明，数列{cn}中的最大项是c2．
【解析】
（Ⅰ）依题意得sn=2an-2，则n≥2时，sn-1=2an-1-2∴n≥2时，sn-sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1…（2分）
又n=1时，a1=2∴数列{an}是以a1=2为首项，以2为公比的等比数列∴…（4分）
（Ⅱ）依题∴…（7分）
由Tn＞2011，得，即
当n≤1006时，，当n≥1007时，，
因此n的最小值为1007                 …（9分）
（Ⅲ）解法一：
由已知得，∴
令…（11分）
∵当x≥3，lnx＞1，则1-1nx＜0，
即f′（x）＜0
在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数∴n≥2时，{lncn}是递减数列，即{cn}是递减数列…（13分）
∵，∴c1＜c2∴数列{cn}中的最大项为…（14分）
解法二：由已知得，∴∵cn＞0，∴
猜想…（11分）
下面用数学归纳法证明nn+1＞（n+1）n（n≥3）
①n=3时，nn+1=81＞64=（n+1）n．所以n=3时不等式成立
②假设n=k时，不等式成立．则有
当n=k+1时，
所以（k+1）k+2＞（k+2）k+1，即n=k+1时，不等式成立
由①②知nn+1＞（n+1）n对一切不小于3的正整数成立．
综上所述n≥3时，cn-1＞cn，c1＜c2
所以数列中c2最大．…（14分）