Question

已知△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，点O是△ABC的外心，且，则λ+μ=    ．

Answer

建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ和μ的值．
【解析】
如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （3，0），C（-1，），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x= 上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（-，），AC的斜率为tan120°=-，
∴中垂线n的方程为 y-=（x+）．
把直线 m和n 的方程联立方程组，
解得△ABC的外心O（，），
由条件，
得（，）=λ（3，0）+μ（-1，）=（3λ-μ，），
∴，解得λ=，μ=，
∴λ+μ=．
故答案为：．