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定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4,且x∈(0,2)时,. (1)求f(x...

定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4,且x∈(0,2)时,manfen5.com 满分网
(1)求f(x)在[-2,2]上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,2)上的单调性,并给予证明;
(3)当λ为何值时,关于方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解?
(1)可设x∈(-2,0),则-x∈(0,2)由x∈(0,2)时,=可求f(-x),再由奇函数的性质可求 (2)利用函数的单调性的定义进行证明即可 (3)转化为求解函数f(x)在(-2,2)上的值域,结合(2)可先求f(x)在(0,2)上的值域,然后结合奇函数的对称性可求在(-2,0)上的值域 【解析】 (1)设x∈(-2,0),则-x∈(0,2) ∵x∈(0,2)时,= ∴ 由函数f(x)为奇函数可得,f(-x)=-f(x) ∴ ∵f(0)=0, ∵周期为4且为奇函数,f(-2)=-f(2)=f(2) ∴f(-2)=f(2)=0 (2)设0<x1<x2<2 令 则= = ∵0<x1<x2<2 ∴g(x1)<g(x2) ∴函数g(x)在(0,2)单调递增,且g(x)>0 ∴f(x)在(0,2)单调递减 (3)由(2)可得当0<x<2时,单调递减 故 由奇函数的对称性可得,x∈(-2,0)时, 当x=0时,f(0)=0 ∵关于方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解 ∴
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考点分析:
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