Question

已知a＞0，设函数，．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（Ⅱ）若e是自然对数的底数，当a=e时，是否存在常数k、b，使得不等式f（x）≤kx+b≤g（x）对于任意的正实数x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（I）先对函数h（x）求导可得，（x＞0），通过导数可判断函数h（x）的单调区间，从而可求函数的极值，最值
（II）由（I）可知，当a=e时，h（x）=f（x）-g（x）的最大值为0，则可得f（x）≤g（x），若使得f（x）≤kx+b≤g（x）对于任意的正实数x都成立，根据导数知识可证，在x∈R时恒成立；即证
【解析】
（I）∵h（x）=f（x）-g（x）=alnx-2x+2a=alnx-（x＞0）（2分）
对函数h（x）求导可得，
∵x＞0
∴当时，h′（x）＞0，h（x）在（0，）上单调递增，
当x时，h′（x）＜0，h（x）在（，+∞）上单调递减
∴x=是函数h（x）唯一的极大值即是函数的最大值h（）=（4分）
（II）当a=e时，h（x）=f（x）-g（x）的最大值为0
即f（x）≤g（x），当且仅当x=时取等号（6分）
∴函数f（x，g（x）的图象在x=处有且仅有一个公共点（）
∵，函数f（x）的图象在x=处的切线斜率k=-
，函数g（x）在x=处的切线斜率k=-
∴f（x）与g（x）的图象在x=处有公共的切线方程为y=-（8分）
设，

x
 F'（x） + -
F（x） ↑ 极大值 ↓

∴当时，函数F（x）取得最大值0
∴恒成立；…（10分）
∵，
∴在x∈R时恒成立；
∴当a=e时，，．