Question

已知函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点是x=1和x=-1．
（1）求a，b的值；
（2）求过点A（1，-2）的曲线y=f（x）的切线方程．

Answer

（1）求导函数，利用函数f（x）=ax3+2bx2-3x的极值点是x=1和x=-1，建立方程组，即可求得a，b的值；
（2）假设切点坐标，写出切线方程，将点A的坐标代入，即可求得过点A（1，-2）的曲线y=f（x）的切线方程．
【解析】
（1）求导函数，可得f′（x）=3ax2+4bx-3
∵函数f（x）=ax3+2bx2-3x的极值点是x=1和x=-1．
∴f′（1）=f′（-1）=0  
∴，∴a=1，b=0
此时f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），可知x=1和x=-1是函数f（x）=ax3+2bx2-3x的极值点；
（2）设切点为P（x，f（x） ），则f′（x）=3x-3，∴切线方程为
即y=3（x-1）x+x3-3
∵点A（1，-2）在切线上，
∴-2=3（x-1）+x3-3
即x3-3+3x-1=0
∴x=1，
∴切线方程是y=-2