Question

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F₁作倾斜角为60° 的直线l交椭圆于A，B两点，ABF₂的内切圆的半径为c
（I）求椭圆的离心率；   
（II）若|AB|=8，求椭圆的标准方程．

Answer

（I）设直线l的方程为y=代入椭圆（a＞b＞0），利用S△ABF2=，还等于三角形的周长乘以三角形内切圆的半径，由此可求出椭圆的离心率；   
（II）由知（I）知，c=b，利用弦长公式|AB|，即可求出椭圆的标准方程．
【解析】
（I）设直线l的方程为y=
代入椭圆（a＞b＞0），消去y可得：（b2+3a2）x2+6a2cx+3a2c2-a2b2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∴|x1-x2|==
∴=
∵S△ABF2=
∴
∴
∴
∴椭圆的离心率；   
（II）由知（I）知，c=b，∴
∴|AB|==8，
∴b=7，a=
∴椭圆的标准方程为．