Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M、N分别是A₁B、B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小．

Answer

（Ⅰ）由BC⊥AC，BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，连接AC1，则BC⊥AC1．侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点，又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，从而MN⊥平面A1BC；
（Ⅱ）根据AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，根据线面所成角的定义可知∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角，设AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求．
证明：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，
所以BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．
由已知，侧面ACC1A1是矩形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C=C，所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．
故MN⊥平面A1BC．
（Ⅱ）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，
连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角．
设AC=BC=CC1=a，则C1D=a，BC1=a．
在Rt△BDC1中，sin∠C1BD=，
所以∠C1BD=30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．