Question

在数列{a_n}中，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，求数列{b_n}的前n项和s_n；
（3）令，数列{c_n}的前n项和T_n，求证：．

Answer

（1）由，知an+1+2•2n+1=3（an+2×2n），由此利用构造法能求出an．
（2）由an=3n+1-2n+1，知==（2n+1），故Sn=，由此利用错位相减法能够求出数列{bn}的前n项和Sn．
（3）由an=3n+1-2n+1，知==＞，由此利用放缩法能够证明．
【解析】
（1）∵
∴an+1+2•2n+1=3（an+2×2n），
∵a1+2•21=9
∴{an+2n+1}是等比数列，公比为3，
∴an+2n+1=3n+1，
∴an=3n+1-2n+1．
（2）∵an=3n+1-2n+1，
∴==（2n+1），
∴Sn=
，
∴
=-（2n+1）
=
=．
∴Sn=．
（3）∵an=3n+1-2n+1，
∴=
=＞，
∴Tn=c1+c2+…+cn
＞++…+
=-×
=＞．
∴．