Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，E，F，G为 AB，AA₁，A₁C₁的中点，则B₁F 与面GEF成角的正弦值（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

利用等体积，计算B1到平面EFG距离，再利用正弦函数，可求B1F 与面GEF成角的正弦值．
【解析】
设正三棱柱的，取A1B1中点M，连接EM，则EM∥AA1，EM⊥平面ABC，连接GM
∵G为A1C1的中点，棱长为
∴GM=B1C1=1，A1G═A1F=1，FG=，FE=，GE=
在平面EFG上作FN⊥GE，则∵△GFE是等腰三角形，∴FN=，
∴S△GEF=GE×FN=，
S△EFB1=S正方形ABB1A1-S△A1B1F-S△BB1E-S△AFE=，
作GH⊥A1B1，GH=，
∴V三棱锥G-FEB1=S△EFB1×GH=，
设B1到平面EFG距离为h，则V三棱锥B1-EFG=S△GEF=，
∵V三棱锥G-FEB1=V三棱锥B1-EFG，
∴，
∴h=
设B1F与平面GEF成角为θ，
∵B1F=
∴sinθ==
∴B1F与面GEF所成的角的正弦值为．
故选A．