Question

在四边形ABCD中，AB=BC，AD∥BC，且，沿BD将其折成一个二面角A-BD-C，使AB⊥CD．
（1）求折后AB与平面BCD所成的角的余弦值；
（2）求折后点C到平面ABD的距离．

Answer

（1）作AO⊥平面BCD于O，连接BO，则∠ABO为AB与平面BCD所成角．由AB⊥CD，BO是AB在平面BCD上的射影，知CD⊥BO．由cos∠ABD=cos∠DBO•cos∠ABO，得cos∠ABD=60°，cos∠DBO=30°，由此能求出折后AB与平面BCD所成的角的余弦值．
（2）连接AC，在Rt△ABO中，，故，，由VA-BCD=VC-ABD，S△ABD=S△BCD，能求出C到平面ABC的距离．
【解析】
（1）作AO⊥平面BCD于O，连接BO，
则∠ABO为AB与平面BCD所成角．（2分）
∵AB⊥CD，BO是AB在平面BCD上的射影，
∴CD⊥BO（4分）
∵cos∠ABD=cos∠DBO•cos∠ABO，
∴cos∠ABD=60°，cos∠DBO=30°，
∴
所以，折后AB与平面BCD所成的角的余弦值为（6分）
（2）连接AC，在Rt△ABO中，，
∴．
∴（8分）
∵VA-BCD=VC-ABD，S△ABD=S△BCD（10分）
所以，C到平面ABC的距离等于（12分）