Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点．
（1）求异面直线PD一AE所成角的大小；
（2）求证：EF⊥平面PBC；
（3）求二面角F-PC-B的大小．

Answer

因为DA、DP、DC两两垂直，故可用向量法求解．
（1）写出PD和AE的坐标，由夹角公式求出余弦值，再由异面直线所成角的范围求出角即可；
（2）只要证明EF⊥PB、EF⊥PC即可，要证垂直，只要数量积为0．
（3）求出平面PFC和平面PBC的法向量，由夹角公式求解即可．
【解析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），
D（0，0，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴．
∴．
又∵，
∴
=．
故异面直线AE与DP所成角的大小为．
（2）．
∴=（-1）×2+0×2+（-1）×（-2）=0，
∴EF⊥PB．
∵=（-1）×2+0×0+（-1）×（-2）=0，
∴EF⊥PC．
又∵PB∩PC=P，
∴EF⊥平面PBC．
（3）设平面PFC的法向量为m=（x，y，z）.
则令z=1，则m=（1，2，1）．
由（2）知平面PBC的法向量为．
．
则二面角F-PC-B的大小为为．