Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，且数列{a_n}的前n项和S_n满足4S_n+1-3S_n=4，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{na_n}的前n项和为T_n，若不等式对任意的n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用4Sn+1-3Sn=4，推出是常数，然后已知，即可证明数列{an}是等比数列；
（2）利用错位相减法求出数列{nan}的前n项和为Tn，化简不等式，通过对任意的n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵已知，∴n≥2时，4Sn-3Sn-1=4．
相减得4an+1-3an=0、又易知an≠0，∴．             …（4分）
又由得4（a1+a2）-3a1=4，∴，∴．
故数列{an}是等比数列． …（5分）
（2）由（1）知．      …（6分）
∴，
∴．
相减得，
∴，…（8分）
∴不等式
为．
化简得4n2+16n＞a．
设f（n）=4n2+16n，
∵n∈N*∴f（n）min=f（1）=20．
故所求实数a的取值范围是（-∞，20）．              …（10分）