Question

定义在R上的函数f（x）对∀x₁，x₂∈R，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，若函数f（x+1）为奇函数，则不等式f（1-x）＜0的解集为（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，+∞）
C．（-∞，0）
D．（-∞，1）

Answer

通过义在R上的函数f（x）对∀x1，x2∈R，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0，得到函数f（x）在R上为单调减函数，再根据函数f（x+1）为奇函数，得到函数f（x+1）必过原点，f（x+1）=-f（1-x），即可求解
【解析】
∵定义在R上的函数f（x）对∀x1，x2∈R，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0
∴（x1-x2）与[f（x1）-f（x2）]异号
当x1-x2＜0时，f（x1）-f（x2）＞0；反之亦然
即函数f（x）在R上为单调减函数
即函数f（x+1）在R上为单调减函数
∵函数f（x+1）为奇函数且定义域为R
∴函数f（x+1）必过原点，故函数f（x）必过（1，0）
∴x＞1时有，f（x）＜0
又f（1-x）＜0
∴1-x＞1
∴x＜0
故选C