Question

下列命题中，真命题的个数有（ ）
①函数y=2^-x是单调递减函数；  
②x是方程lnx+x=4的解，则x∈（2，3）；
③；
④∀a，b∈R，则“3^a＞3^b”是“log₃a＞log₃b”的充要条件．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①函数y=2-x是单调递减函数；②x是方程lnx+x=4的解，令f（x）=lnx+x-4，则f（1）=-3＜0，f（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3-1＞0，f（4）=ln4＞0．所以f（2）与f（3）异号．所以x∈（2，3）；③由，知；④当a≤0，b≤0时，log3a和log3b不存在．
【解析】
①函数y=2-x是单调递减函数，故①是真命题；
②x是方程lnx+x=4的解，令f（x）=lnx+x-4，
则f（1）=-3＜0，f（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3-1＞0，f（4）=ln4＞0．
所以f（2）与f（3）异号．所以x∈（2，3），故②正确；
③∵，∴，故③成立；
④当a≤0，b≤0时，log3a和log3b不存在，故④不成立．
故选C．