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已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x (1)求f(...

已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x
(1)求f(x).
(2)manfen5.com 满分网当时,求f(2x)的最大值与最小值.
(1)利用待定系数法,假设二次函数,结合f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,即可求出函数的解析式; (2)利用换元法,转化为二次函数,利用配方法,结合函数的单调性,即可求出f(2x)的最大值与最小值. 【解析】 (1)设f(x)=ax2+bx+c,因为f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2x2-4x 所以2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x…(3分) 故有即,所以f(x)=x2-2x-1…(6分) (2)当时,,f(2x)=(2x)2-2•2x-1….(8分) 令t=2x,,所以y=t2-2t-1=(t-1)2-2…(10分) ∴函数在上是单调增函数, 所以当时,;当t=4时,ymax=7…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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