Question

已知函数：
（1）判定f（x）的奇偶性，并证明；
（2）当x＞0时，判断f（x）在（0，2）和（2，+∞）上的单调性，并证明．

Answer

（1）先确定函数的定义域，再利用奇函数的定义，证明函数f（x）=-f（-x），从而函数为奇函数；
（2）利用函数单调性的定义，设任意的x1，x2∈（0，2），当x1＜x2时，利用作差法证明f（x1）-f（x2）＞0，从而函数f（x）在（0，2）上为减函数，同理可证f（x）在（2，+∞）上为增函数
【解析】
（1）f（x）是奇函数，
因为对于任意的x（x≠0），

所以f（x）是奇函数        
（2）①当x＞0时，f（x）的单调减区间为（0，2），
对于任意的x1，x2∈（0，2），当x1＜x2时
．
因为0＜x1x2＜4，所以f（x1）-f（x2）＞0
所以f（x）在（0，2）上为减函数      
②当x＞0时，f（x）的单调增区间为（2，+∞），
对于任意的x1，x2∈（2，+∞），当x1＜x2时

因为x1x2＞4，所以f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x）在（2，+∞）上为增函数