Question

已知函数，x∈[1，+∞）
（1）若f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，求a的取值范围；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer

（1）将f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，转化为x2+2x+a=0在[1，+∞）上有解，构造函数g（x）=x2+2x+a，由g（1）≤0即可求得a的取值范围；
（2）设1≤x1＜x2，作差f（x1）-f（x2）=，根据题意可得a≤1．
【解析】
（1）f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，即=0在[1，+∞）上有解，等价于x2+2x+a=0在[1，+∞）上有解，…3′
令g（x）=x2+2x+a，则g（x）=（x+1）2+a-1的对称轴为x=-1，
∴当g（1）≤0时，g（x）=（x+1）2+a-1的图象在[1，+∞）上与x轴有一个交点，即x2+2x+a=0在[1，+∞）上有解．
由g（1）≤0得3+a≤0，即a≤-3…．（6分）
（2）设1≤x1＜x2，则
=…（9分）
∵f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，可得x1x2＞a，而x1x2＞1，
∴a≤1…（12分）