满分5 > 高中数学试题 >

如图,是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削 去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视...

如图,是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削   去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;
(Ⅲ)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.

manfen5.com 满分网
(I)由图可以看出,几何体可以看作是以点B为顶点的四棱锥,其与底面积易求; (II)证明线EM与面ABC中一线平行即可利用线面平行的判定定理得出线面平行,由图形易得,可构造平行四边形证明线线平行,取BD中点M,EM,MG,AG,即可; (III)本题是个存在问题,解法一:可先根据题设中的条件,推断图形中的位置关系并确定点的位置,再进行证明. 解法二:解决本题最好用向量法,建立空间坐标系,依据题设条件直接给出点的坐标,用向量表示出位置关系对应的方程,进行求解,若解出的坐标存在于所要求的位置,则说明存在. 【解析】 (Ⅰ)证明:由题意,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,AE=2,DC=4,AB⊥AC,且AB=AC=2 ∵EA⊥平面ABC, ∴EA⊥AB,又AB⊥AC,∴AB⊥平面ACDE ∴四棱锥B-ACDE的高h=AB=2,梯形ACDE的面积S=6 ∴, 即所求几何体的体积为4(4分) (Ⅱ)证明:∵M为DB的中点,取BC中点G,连接EM,MG,AG, ∴MG∥DC,且MG=DC∴MG=∥AE, ∴四边形AGME为平行四边形, ∴EM∥AG,又AG⊆平面ABC∴EM∥平面ABC.(8分) (Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)知,EM∥AG, 又∵平面BCD⊥底面ABC,AG⊥BC,∴AG⊥平面BCD ∴EM⊥平面BCD,又∵EM⊂平面BDE, ∴平面BDE⊥平面BCD 在平面BCD中,过M作MN⊥DB交DC于点N, ∴MN⊥平面BDE,点N即为所求的点, ∵△DMN∽△DCB∴∴ ∴边DC上存在点N,满足DN=DC时,有NM⊥平面BDE.(13分) 解法2:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0) D(-2,0,4),E(0,0,2),M(-1,1,2),=(2,2,-4),=(2,0,-2),=(0,0,-4),=(1,1,-2). 假设在DC边上存在点N满足题意 ∴边DC上存在点N,满足DN=DC时,NM⊥平面BDE.(13分)
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
已知数列{an}、{bn}满足:manfen5.com 满分网,an+bn=1,manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若manfen5.com 满分网,求数列{cn}的前n项和Sn
查看答案
已知函数manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求f(x)的单调区间以及极值;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象是否为中心对称图形?如果是,请给出严格证明;如果不是,请说明理由.
查看答案
设锐角△ABC的三内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,向量manfen5.com 满分网=manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=manfen5.com 满分网,已知manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网共线.   
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=2,manfen5.com 满分网,且△ABC的面积小于manfen5.com 满分网,求角B的取值范围.
查看答案
如图,在△ABC中,AD⊥AB,manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,则manfen5.com 满分网=   
manfen5.com 满分网 查看答案
已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则manfen5.com 满分网的最小值为    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.