Question

已知数列{a_n}满足：，2a_n+1=a_na_n+1+1
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅲ）已知数列{b_n}满足：a_nb_n=1-a_n，S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：S₁+S₂+…+S_n-1=n（S_n-1）

Answer

（Ⅰ）利用数列{an}满足：，2an+1=anan+1+1，分别代入，即可求得a2，a3，a4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{an}的通项公式，再用数学归纳法证明；
（Ⅲ）已知数列{bn}满足：anbn=1-an，可求数列{bn}的通项，从而可求前n项和，进一步可以证明S1+S2+…+Sn-1=n（Sn-1）
（Ⅰ）【解析】
∵数列{an}满足：，2an+1=anan+1+1
∴n=1时，2a2=a1a2+1，∴
n=2时，2a3=a2a3+1，∴
n=3时，2a4=a3a4+1，∴；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，
证明：①当n=1，2，3，4时，由（Ⅰ）知结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即，
则n=k+1时，∵2an+1=anan+1+1
∴=
即n=k+1时，结论成立
由①②可知；
（Ⅲ）【解析】
由anbn=1-an，可得
∴S1+S2+…+Sn-1═（n-1）+
=n++…+-1×（n-1）=n（1++…+-1）=n（Sn-1）