Question

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）①求证：函数在（0，+∞）上是增函数；
②当x₁＞0，x₂＞0时，证明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅱ）已知不等式ln（x+1）＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，求证：…．

Answer

（I）①先利用导数的四则运算，求函数g（x）的导函数，结合已知证明导函数g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即可证明其在（0，+∞）上是增函数；②利用①的结论，且x1＞0，x2＞0时，x1+x2＞x1，且x1+x2＞x2，得，从中解出f（x1）、f（x2）即可证得结论；（II）构造一个符合条件的函数f（x）=xlnx，利用（I）的结论，得x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜（x1+x2+…+xn）ln（x1+x2+…+xn）（n≥2），令，再将放缩，即可证得所证不等式
解（Ⅰ）①∵，∴
∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
从而有在（0，+∞）上是增函数．
②由①知在（0，+∞）上是增函数，当x1＞0，x2＞0时，有，
于是有：，
两式相加得：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）
（Ⅱ）由（Ⅰ）②可知：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2），（x1＞0，x2＞0）恒成立
由数学归纳法可知：xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）＜f（x1+x2+x3+…xn）（n≥2）恒成立
设f（x）=xlnx，则，则xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜（x1+x2+…+xn）ln（x1+x2+…+xn）（n≥2）（*）恒成立
令，记
又，
又，且ln（x+1）＜x
∴（x1+x2+…+xn）ln（x1+x2+…+xn）＜（x1+x2+…+xn）ln（1-）＜-（x1+x2+…+xn）＜-（-）=-  （**）
将（**）代入（*）中，可知：-（）
于是