Question

某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现：该产品的销售单价定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上，每增加10元，年销售量将再减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利w与x之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损？若赢利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（=1521）

Answer

（1）根据当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件，可知100≤x≤200时的年销售量；销售价格在200元时，年销售量为12万件，根据当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上，每增加10元，年销售量将再减少1万件，可知200≤x≤300时的年销售量；
（2）年获利为年销售量乘以销售单价，再减去投资设备钱，减去成本钱，从而可求年获利w与x之间的函数关系式，进而可求公司利润．
【解析】
（1）根据当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件，可知100≤x≤200时，年销售量为y=；
销售价格在200元时，年销售量为12万件，根据当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上，每增加10元，年销售量将再减少1万件，可知200≤x≤300时，年销售量为y=．
∴y=．
（2）当100≤x≤200时，w=xy-40y-（480+1520）
将y=-x+28代入上式得：w=x（-x+28）-40（-x+28）-2000=-（x-195）2-78，
当200＜x≤300时，同理可得：w=-（x-180）2-40，
故w=；
若100≤x≤200，当x=195时，wmax=-78，
若200＜x≤300，wmax=-80．
故投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为78万元．