Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，直线l₁：x=2，l₂：y=-t²+8t（其中0≤t≤2．t为常数）；若直线l₁、l₂与函数f（x）的图象以及l₁，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由图象可知函数图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16，分别代入即可解得a、b、c的值
（Ⅱ）先求出直线l1：y=-t2+8t（其中0≤t≤2．t为常数）与抛物线f（x）=-x2+8x的交点横坐标（用t表示），再利用定积分的几何意义求两部分面积之和即可
（Ⅲ）先令H（x）=g（x）-f（x）=x2-8x+6lnx+m，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数H（x）=x2-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点，再利用导数研究函数H（x）的单调性和极值，数形结合得满足题意的不等式组，解之可得m的值
【解析】
（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16
则，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=-x2+8x
（Ⅱ）由得x2-8x-t（t-8）=0，∴x1=t，x2=8-t，
∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（t，-t2+8t）
由定积分的几何意义知：==
（Ⅲ）令H（x）=g（x）-f（x）=x2-8x+6lnx+m．
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数H（x）=x2-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
∴
∴x=1或x=3时，H′（x）=0
当x∈（0，1）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数；
当x∈（1，3）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数
当x∈（3，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数
∴H（x）极大值为H（1）=m-7；H（x）极小值为H（3）=m+6ln3-15
又因为当x→0时，H（x）→-∞；当x→+∞时，H（x）→+∞
所以要使ϕ（x）=0有且仅有两个不同的正根，必须且只须
即，∴m=7或m=15-6ln3．
∴当m=7或m=15-6ln3．时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点