已知x+2y=1，x∈R+，y∈R+，则x2y的最大值为．

已知x+2y=1，x∈R⁺，y∈R⁺，则x²y的最大值为．

法一：由x+2y=1，可得x=1-2y，结合x＞0，y＞0可得，而x2y=（1-2y）2y=，利用基本不等式可求函数的最大值法二：由x+2y=1，可得x=1-2y，解x＞0，y＞0可得，而x2y=（1-2y）2y=4y3-4y2+y，构造函数f（y）=4y3-4y2+y（），利用导数判断函数的单调性，进而可求函数的最大值【解析】法一：由x+2y=1，可得x=1-2y ∵x＞0，y＞0 ∴ ∴ ∴x2y=（1-2y）2y= = 当且仅当1-2y=4y即y=，x=时取等号则x2y的最大值为故答案为法二：由x+2y=1，可得x=1-2y ∴x2y=（1-2y）2y=4y3-4y2+y ∵x＞0，y＞0 ∴ ∴ 令f（y）=4y3-4y2+y（），则f′（y）=12y2-8y+1 ∵ 令f′（y）＜0恒可得令f′（y）≥0可得 ∴函数f（y）=4y3-4y2+y在（，）单调递减，在（0，]上单调递增 ∴当y=时取得最大值故答案为

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考点分析：

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