Question

已知F₂（-2，0），F₂（2，0），点P满足||PF₁|-|PF₂||=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（-1，0），问：当直线l绕点F₂转动的时候，是否都有•=0？请说明理由．

Answer

（1）由F2（-2，0），F2（2，0），点P满足||PF1|-|PF2||=2，知c=2，a=1，b2=3，由此能求出点P的轨迹E的方程．
（2）若l的斜率存在，设l的方程为：y=k（x-2），由，得：（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，由l与曲线交于不同点P，Q，知，由此入手导出；若直线l的斜率存在，则P（2，3），Q（2，-3），M（-1，0），故成立．所以当直线l绕点F2旋转时，均有得到结论．
【解析】
（1）∵F2（-2，0），F2（2，0），点P满足||PF1|-|PF2||=2，
∴c=2，a=1，b2=3，
∴点P的轨迹E的方程为：．
（2）①若l的斜率存在，设l的方程为：y=k（x-2），
由，消y得：（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，
∵l与曲线交于不同点P，Q，
∴，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，
，
∵M（-1，0），
∴
=（k2+1）x1x2-（2k2-1）（x1+x2）+1+4k2=0．
②若直线l的斜率存在，则P（2，3），Q（2，-3），M（-1，0），
∴成立，
故当直线l绕点F2旋转时，均有．