Question

已知函数f（x）=，（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）条件下，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切，求实数k的值．

Answer

（1）根据极值的定义可得f′（1）=0求出a的值然后再回代到题中利用极值的定义判断函数f（x）是否在x=1处取得极值以免产生增根．
（2）设切点A（x，y）根据直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切和导数的几何意义可得k=f′（x）再根据k=kOA建立关于x的等式然后求出x（要注意其大于0）进而求出k
【解析】
（1）∵f（x）=
∴f′（x）=
∵函数f（x）在x=1处取得极值
∴f′（1）=a-1=0
∴a=1
经检验，a=1时f′（x）=-故0＜x＜1时f′（x）＞0，x＞1时f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减故f（x）在x=1处取得极值．
∴a=1
（2）由（1）可知a=1
∴f（x）=
∴f′（x）=-
设切点A（x，y）
∴k=f′（x）=-
又∵k=kOA=
∴=-
∴lnx=-
∴
∴k=kOA===