Question

已知函数f（x）=x³-3ax²-3a²+a（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a，对其进行求导，令f′（x）=0，求出极值点，从而求出其单调区间；
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值，再根据零点定理求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a）．令f′（x）=0，得x1=0，x2=2a
列表如下：

x （-∞，0） （0，2a） 2a （2a，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 递增 -3a2+a 递减 -4a3-3a2+a 递增

由上表可知，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2a，+∞）；单调递减区间为（0，2a）．
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值．
f（0）=-3a2+a，f（2a）=-4a3-3a2+a．由已知得函数y=f（x）在区间[0，2a]上存在零点，
∴f（0）×f（2a）≤0即（-3a2+a）（-4a3-3a2+a）≤0
∴a2（3a-1）（4a-1）（a+1）≤0
∵a＞0
∴（3a-1）（4a-1）≤0，解得≤a≤故实数a的取值范围是[，]．