Question

已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，如图甲、图乙．图甲的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周l₁=AB+BC 图乙的过水断面为等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60°，过水湿周l₂=AB+BC+CD，若△ABC与梯形ABCD的面积都是S．

（1）分别求l₁和l₂的最小值；
（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．

Answer

（1）在图甲中，设∠ABC=θ，AB=BC=a，则S=a2sinθ，可解得l1=2a≥2；在图乙中，设AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°，可求得：AD=m+n，
由S=（n+m+n）•m，解得n=-，代入其面积表达式，应用基本不等式即可求得l2≥；
（2）由（1）可得l1min=2，l2min=2，比较与的大小即可．
【解析】
（1）在图甲中，设∠ABC=θ，AB=BC=a，则S=a2sinθ，
∵S，a，sinθ均为正值，
∴a=≥．
当且仅当sinθ=1，即θ=90°时取等号，
∴l1=2a≥2；
在图乙中，设AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°，可求得：AD=m+n（m＞0，n＞0）．
由S=（n+m+n）•m，解得n=-，
∴l2=2m+n=2m+-=+m≥，当且仅当=m，即m=时取“=“；
（2）由于=＞，则l2的最小值小于l1的最小值，
故在方案②中当l2取得最小值时的设计方案为最佳方案．