Question

已知f（x）在（-1，1）上有定义，且满足x，y∈（-1，1）时，有
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）数列{a_n}满足，，x_n=f（a_n），求{x_n}的通项公式．
（3）求证：．

Answer

利用赋值法，先令y=0可求f（0）=0，再令y=-x即可证明f（-x）=-f（x），即可
（2）由=f（an-1）+f（an-1）=2f（an-1）=2xn-1，可得{xn}为等比数列，根据等比数列的通项公式可求
（3）由=及f（x+y）=f（）可得=，利用叠加可求
（1）证明：令y=0得：f（x）+f（0）=f（x）所以f（0）=0
令y=-x得：f（x）+f（-x）=f（0）=0所以f（-x）=-f（x）
又f（x）的定义域为（-1，1）
所以f（x）在（-1，1）上为奇函数
（2）【解析】
∵=f（an-1）+f（an-1）=2f（an-1）=2xn-1

所以{xn}为以2为公比-1为首项的等比数列．  故
（3）证明：∵=
所以：=
所以   

       …

以上等式相加得：=1+=