Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论中正确的是    ．（把你认为正确的结论都填上）
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③AC₁与底面ABCD所成角的正切值是；
④二面角C-B₁D₁-C₁的正切值是；
⑤过点A₁与异面直线AD与CB₁成70°角的直线有2条．

Answer

根据直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理可得①②，根据求二面角的大小的方法可得③不正确、④正确，
再根据异面直线所成的角可得⑤不正确，由此得到答案．
【解析】
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 中，
由于BD∥B1D1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正确．
由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面 ACC1A1，故 B1D1⊥AC1．
同理可得 B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正确．
AC1与底面ABCD所成角的正切值为=，故③不正确．
取B1D1 的中点M，则∠CMC1 即为二面角C-B1D1-C1的平面角，Rt△CMC1中，tan∠CMC1===，故④正确．
由于异面直线AD与CB1成45°的二面角，如图，过A1 作MN∥AD、PQ∥CB1，设MN与PQ确定平面α，∠PA1M=45°，过A1 在面α上方作射线A1H，
则满足与MN、PQ 成70°的射线A1H有4条：满足∠MA1H=∠PA1H=70°的有一条，满足∠PA1H=∠NA1H=70°的有一条，满足∠NA1H=∠QA1H=70°的有一条，
满足QA1H=∠MA1H=70°的有一条．故满足与MN、PQ 成70°的直线有4条，故过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有4条，故⑤不正确．

故答案为 ①②④．