Question

在空间中，若射线OA、OB、OC两两所成角都为，且OA=2，OB=1，则直线AB与平面OBC所成角的正弦值为    ．

Answer

取OC=2，可得平面OBC⊥平面ABC，可确定∠ABC即为AB与面OBC所成的角，在△ABC中，利用余弦定理可求直线AB与平面OBC所成角的余弦值，从而可求直线AB与平面OBC所成角的正弦值．
【解析】
由∠AOB=60°、OA=2OB=2得AB⊥OB，AB=
不妨取OC=2，由∠COB=60°，得CB⊥OB，BC=
∵CB∩AB=B
∴OB⊥平面ABC
∵OB⊂平面OBC
∴平面OBC⊥平面ABC
过A作AD⊥BC
∴AD⊥平面OBC
∴∠ABC即为AB与面OBC所成的角
∵OA=OC=2，∠AOC=60°，∴AC=2
在△ABC中，AB=BC=，AC=2
由余弦定理，cos∠ABC=
∴sin∠ABC=
故答案为：