Question

设函数，（a∈R）．
（1）若a=1，证明：当x＞-1时，f（x）≥0；
（2）若f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N且n＞1求证：．

Answer

（1）即证当x＞-1时，ex≥x+1，构造函数g（x）=ex-x-1，可得g（x）在[0，+∞）上单调增，（-1，0]上单调减，从而可得g（x）≥0，故得证；
（2）f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，等价于x≥0时，，先确定a≥0，从而问题转化为x≥0时，（1-e-x）（ax+1）-x≤0，构建函数h（x）=（1-e-x）（ax+1）-x，利用h′（x）=a（1-e-x）+（ax+1）e-x-1，h″（x）=e-x（2a-ax-1），确定函数的单调性，从而可得实数a的取值范围；
（3）由（2）知，当a=时，，从而，令，可得，叠加即可得出结论．
（1）证明：a=1时，
当x＞-1时，f（x）≥0，即，亦即1-（x+1）e-x≥0，即ex≥x+1
因此只要证当x＞-1时，ex≥x+1
构造函数g（x）=ex-x-1，∴g′（x）=ex-1
当x≥0时，g′（x）≥0；当-1＜x＜0时，g′（x）＜0
∴g（x）在[0，+∞）上单调增，（-1，0]上单调减
∴g（x）min=g（0）=0
∴g（x）≥0，即当x＞-1时，ex≥x+1
∴当x＞-1时，f（x）≥0；
（2）【解析】
f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，等价于x≥0时，恒成立
∵1-e-x∈[0，1），∴
∴若x=0时，0=0，此时a∈R；若x＞0，ax+1＞0，∴，∴a≥0
∴a≥0，
x≥0时，恒成立，等价于（1-e-x）（ax+1）-x≤0恒成立
令h（x）=（1-e-x）（ax+1）-x，
∴h′（x）=a（1-e-x）+（ax+1）e-x-1
∴h″（x）=e-x（2a-ax-1）
∵a≥0，x≥0，∴h″（x）≤（2a-1）e-x
①若2a-1≤0，即时，h″（x）≤0，
∴h′（x）在[0，+∞）上单调减，∴h′（x）≤h（0）=0，
∴h（x）在[0，+∞）上单调减，∴h（x）≤h（0）=0，∴f（x）≤0，满足题意；
②若2a-1＞0，即时，当时，h″（x）＞0，
∴h′（x）在[0，+∞）上单调增，∴h′（x）＞h（0）=0，
∴h（x）在[0，+∞）上单调增，∴h（x）＞h（0）=0，∴f（x）＞0，不满足题意；
综上知，实数a的取值范围为；
（3）证明：由（2）知，当a=时，，∴，当x∈（0，2）时，，
∴
令，∴，∴
∴，
∴
∴
∴