Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，E是PD的中点，且PA=BC=AD．
（1）求证：CE∥平面PAB
（2）求证：CD⊥平面PAC
（3）若PA=1，求三棱锥C-PAD的体积．

Answer

（1）取PA的中点F，连接EF，BF，证明，说明四边形EFBC是平行四边形，利用CE∥FB，证明CE∥平面PAB．
（2）设PA=1．求出AD=2．推出PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°．然后证明CD⊥面PAC．
（3）若PA=1，求三棱锥C-PAD的体积．
【解析】
（1）取PA的中点F，连接EF，BF，=∵PF=FA，PE=ED，∴
∴，
∴四边形EFBC是平行四边形∴CE∥FB
∵CE⊄平面PAB，FB⊂平面PAB
∴CE∥平面PAB
（2）设PA=1．由题意 PA=BC=1，AD=2．                   …（2分）
∵PA⊥面ABCD，∴PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°．
∴AB=1，由∠ABC=∠BAD=90°，易得CD=AC=．
由勾股定理逆定理得 AC⊥CD．                    …（3分）
又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，…（5分）
（3）由（2）可知，PA⊥面ABCD，∴三棱锥C-PAD的体积就是P-ACD的体积，
PA=1．由题意 PA=BC=1，AD=2，
PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°．
∴AB=1
S△ACD==1，
VC-PAD==．