Question

设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为-8，其导函数y=f'（x）的图象经过点，如图所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）求出y=f'（x），因为导函数图象经过（-2，0）和（，0），代入即可求出a、b、c之间的关系式，再根据图象可知函数的单调性，而f（x）极小值为-8可得f（-2）=-8，解出即可得到a、b、c的值；
（2）根据函数增减性求出函数在区间[-3，3]的最小值大于等于m2-14m，即可求出m的范围．
【解析】
（1）∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），，
∴
∴f（x）=ax3+2ax2-4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
由f（x）极小值=f（-2）=a（-2）3+2a（-2）2-4a（-2）=-8，解得a=-1
∴f（x）=-x3-2x2+4x
（2）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，
只需f（x）min≥m2-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
且f（-2）=-8，f（3）=-33-2×32+4×3=-33＜-8
∴f（x）min=f（3）=-33（11分）-33≥m2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．