Question

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）（x、y∈R）且，
（1）当n∈N⁺时，求f（n）的表达式；
（2）设，若S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求证S_n＜2
（3）设，T_n为{b_n}的前n项和，求．

Answer

（1）利用f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）通过令x=n，y=1，说明{f（n）}是以为首项，公比为的等比数列求出．
（2）利用（1）求出an=n•f（n）的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和，即可说明不等式成立．
（3）利用（1）求出bn，求出Tn，利用裂项法求出的和即可．
【解析】
（1）∵f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）
令x=n，y=1则f（n+1）=f（n）•f（1）（n∈N+）…（2分）
由
∴（n∈N+）
∴{f（n）}是以为首项，公比为的等比数列…（4分）
则…（5分）
（2）由（n∈N+）…（6分）
∴，

两式相减：
=…（9分）
∴…（10分）
∴n∈N+时
∴…（11分）
（3）由于…（12分）
∴…（14分）
则
=
=…（16分）