Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且，数列{b_n}中，b₁=1，．（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n
（2）设，求数列{c_n}的前n项和T_n．
（3）设，若对于一切n∈N^*，有λ＞h_n恒成立，求λ的取值范围．

Answer

（1）由，可得当n≥2时，Sn-1=2an-1-2，两式相减可得an=2an-1，从而可知数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故可得an=2n；根据，两边取倒数，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求{bn}的通项
（2），所以数列{cn}的前n项和Tn=c1+c2+…+cn=1×2+3×22+…+（2n-1）×2n，利用错位相减法可求数列{cn}的前n项和
（3）=，可判断n=1，2时，hn+1＞hn；n≥3时，hn+1＜hn，故n=3时，hn取得最大值，从而可求λ的取值范围．
【解析】
（1）由，可得当n≥2时，Sn-1=2an-1-2
两式相减可得：an=2an-2an-1
∴an=2an-1
∴（n≥2）
∵n=1时，S1=2a1-2，∴a1=2
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴an=2n
∵
∴
∵b1=1，∴
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列
∴
∴
（2）
∴数列{cn}的前n项和Tn=c1+c2+…+cn=1×2+3×22+…+（2n-1）×2n①
∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）×2n+（2n-1）×2n+1②
①-②可得：-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2×2n-（2n-1）×2n+1=-6+2n+2-（2n-1）×2n+1
∴Tn=6-2n+2+（2n-1）×2n+1；
（3）=
∴-=
∴n=1，2时，hn+1＞hn；n≥3时，hn+1＜hn
∴n=3时，hn取得最大值
∵对于一切n∈N*，有λ＞hn恒成立，
∴，
∴λ的取值范围为．